Odborně-vzdělávací a zpravodajský portál z oblasti strojírenství a navazujících oborů
Články >> Přesnost interpolace
Chcete dostávat MM Průmyslové spektrum ZDARMA až do Vaší schránky? Více informací zde.

Přesnost interpolace

V technické praxi se vedle jednoznačně matematicky zadaných ploch často vyskytují plochy zcela obecného tvaru, které jsou zadány množinou definičních bodů. Takto zadané plochy se pro další zpracování nahrazují matematickým modelem, často interpolační plochou.

Jedinou podmínkou vyplývající z definice interpolační plochy je, aby výsledná plocha procházela zadanými body. Ale jaký je průběh plochy mezi zadanými body? Je použitá metoda interpolace vždy schopna správně odhadnout charakter plochy? Jak se změní matematický model, změníme-li počet zadaných bodů? Odpověďmi na tyto otázky se zabývá tento článek.

Posouzení přesnosti interpolační plochy

Přesnost interpolační plochy je pojem relativní. Pokud není k dispozici vzorový fyzický model, který by bylo možné změřit, lze přesnost, či lépe řečeno vhodnost použité interpolační metody na konkrétní vstupní data posoudit pouze vizuálně. Chceme-li posoudit interpolační metodu obecněji, použijeme ji k interpolaci modelových dat získaných výpočtem z analytické rovnice známé plochy a porovnáme interpolovaná data s teoretickými.
Pro posouzení přesnosti a věrohodnosti interpolační metody byla sestavena metoda zjišťování odchylek interpolační plochy od vzorové analytické plochy. Za odchylku interpolační plochy od vzorové plochy byla považována vzdálenost těchto dvou ploch na normále konstruované ve zvoleném bodě na vzorové ploše. Tyto odchylky byly vyhodnoceny v dostatečně mnoha bodech, aby bylo možné posoudit jejich průběh v rámci celé plochy. Veškeré testování bylo provedeno pro interpolační plochu zkonstruovanou Fergusonovou interpolační metodou, viz např. L. Drs: Matematické metody v počítačové grafice, Ediční středisko ČVUT, Praha 1990.

Vzorová vstupní data

Velikosti odchylek byly posuzovány v závislosti na dvou parametrech. Prvním parametrem byl počet zadaných bodů, druhým parametrem byla různá křivost vzorové plochy při zachování charakteru rozložení zadaných bodů. Aby bylo možné postihnout širokou tvarovou rozmanitost v rámci modelových dat, byl za vzorovou plochu zvolen povrch elipsoidu s jednotkovou nejdelší poloosou. Volbou vhodného poměru délek jednotlivých poloos elipsoidu lze simulovat vstupní data obecné tvarové plochy s nekonstantní křivostí.
Postupně byly uvažovány čtyři základní sítě zadaných bodů, které jsou zobrazeny na obr. 1. Tyto sítě se lišily počtem zadaných bodů (37, 145, 325 a 1297 bodů). Změnou délky dvou poloos elipsoidu (poloosy a ve směru osy X a poloosy c ve směru osy Z v rozsahu 0,2 až 1 po 0,2 při stále jednotkové poloose b ve směru osy Y) bylo pro každou základní síť definováno 25 různých variant s proměnnou křivostí. Na obr. 2 je žlutou barvou znázorněno několik variant testovaných elipsoidů. Odpovídající průběh křivosti je nakreslen zelenou barvou. Celkem bylo testováno 100 vzorových sítí definičních bodů, pro které byla vypočtena interpolační plocha a zjištěny její odchylky od teoretické plochy.

Zjištěné výsledky

Detailní průběh odchylky interpolační plochy od vzorové plochy pro síť s 37 zadanými body a délky poloos a = 0,6, b = 1, c = 0,8 je znázorněn na obr. 3. Charakter průběhu je stejný pro všechny testované varianty. V zadaných bodech je odchylka nulová. Mezi dvěma zadanými body se odchylka interpolační plochy zvětšuje až na určitou lokální maximální hodnotu. Pro každý testovaný elipsoid byla vypočtena globální maximální hodnota této odchylky. V tabulce jsou uvedeny nejmenší a největší hodnoty maximálních odchylek pro každou ze čtyř základních sítí.
Porovnáním hodnot v tabulce lze soudit, že na přesnost interpolační plochy má podstatně větší vliv počet zadaných bodů. S měnící se křivostí vzorové plochy (při jinak stejném charakteru rozložení zadaných bodů) nenastává výrazná změna odchylky interpolační plochy.

Oblast použití

Otázkou přesnosti interpolační plochy má smysl se zabývat v takových technických aplikacích, kde je rozhodujícím požadavkem přesnost a věrohodnost matematického modelu (např. tvarová shoda se vzorovou plochou, pokud tato existuje). Tedy nikoliv ve fázi interaktivního návrhu, kde se uplatňují především aproximační metody, ale pro účely reprodukce tvaru, výroby forem apod.

Další články

CAD/CAM/CAE/CIM
Výzkum/ vývoj

Komentáře

Nebyly nalezeny žádné příspěvky

Sledujte nás na sociálních sítích: