Fyzikální modelování mechanického tření v Simulinku

Pro modelování mechanického tření existují dva přístupy: spojitý a fixační. Volba metody závisí na modelovaném systému a na účelu simulace. Tento článek popisuje metody pro modelování a simulaci mechanického tření pomocí nástrojů firmy MathWorks. Z nich byl využit zejména Simulink a jeho nadstavby pro fyzikální modelování Simscape, SimDriveline a SimMechanics. Jednotlivé části článku zahrnují fyzikální podstatu tření, numerickou simulaci, základní aproximace tření, hledání ustáleného stavu a linearizaci, simulaci v reálném čase. Distributorem produktů společnosti The MathWorks v České republice a na Slovensku je společnost Humusoft, s. r. o.

Co je tření

Mechanické tření je výsledkem smykového kontaktu mezi dvěma povrchy, které jsou obvykle suché nebo s mazivem. Tření brání organizovanému pohybu těles a způsobuje disipaci mechanické práce nevratnou přeměnou na teplo.

Tření mezi suchými povrchy má nespojitý charakter. Síly jsou úměrné normálové síle působící na povrch a v některých případech závisí i na styčné ploše

_třecí = – (v, A) F_normal

Velikost koeficientu tření závisí na skluzu nebo relativní rychlosti jen nepatrně, ale změna jejich znaménka způsobuje dynamickou nespojitost, protože následně mění znaménko i tření. Při velmi malém skluzu se suché kinetické tření změní na statické a dojde k přilnutí povrchů k sobě. Tím způsobí kinematickou nespojitost, která ze systému odebere stupeň volnosti.

Statické tření je v podstatě síla omezení a nevykonává žádnou mechanickou práci, což je výjimka z obecně disipativní povahy tření. Suché kinetické tření přechází na statické a naopak, proto musí být ošetřeny dohromady jako jediná dynamická podmínka. Tato transformace je prakticky okamžitá a odehrává se při velmi malých rychlostech a časech vzhledem k celkové dynamice systému.

Při mazném kluzném tření je kontakt povrchů modifikován mazivem. Tento typ spojitého tření odráží viskózní charakter kapalin, koeficient je přímo úměrný kladné práci při skluzu a při nulovém skluzu mizí.

Numerická simulace tření

Volba řešiče

Volba řešiče je při simulaci tření klíčová. Závisí hlavně na tom, zda bude modelována spojitá nebo fixační aproximace tření. Řešiče obyčejných diferenciálních rovnic (ODE) lze rozdělit do dvou tříd podle toho, zda určují výpočetní krok nebo chybu řešení:

• řešiče s pevným krokem (Fixed-step, FS) specifikují velikost časového kroku a chyba řešení je dána dynamikou systému a dostupnou výpočetní přesností. Tyto řešiče přiřadí danou délku simulovaného časového intervalu k dané délce reálného či hodinového času;
• řešiče s proměnným krokem (Variable-step, VS) specifikují horní mez chyby řešení. Aby zabránily chybám přesahujícím tuto mez, musí měnit velikost kroku. Simulovaný časový interval je daný, ale reálný čas výpočtu je funkcí dynamiky a dostupné výpočetní přesnosti.

Tření ovlivňuje rozdílné stupně volnosti různými způsoby v odlišných časových měřítkách. Když jsou některé síly větší než ostatní nebo se některé stupně volnosti mění rychleji než jiné, systém je označován jako stiff a pro jeho výpočet je optimální využít stiff ODE řešice. Při použití řešiče, který není určen pro simulaci stiff systémů, bývá problém buď s hledáním správného časového kroku nebo omezením chyby výpočtu (tab. 1).

Fixační a pseudofixační aproximace tření

Nejvíce případů stiff chování v modelování tření je asociováno se statickým třením, kdy fixace a uvolnění nastává ve velmi krátkých časech. Pro numerickou simulaci těchto změn lze použít buď fixační nebo pseudofixační aproximaci.

Pseudofixační aproximace tření

Pseudofixační aproximace tření nahrazuje fixaci v blízkosti nulového skluzu pomocí velké viskozity, tj. bez skutečného zablokování. Metoda je snadno implementovatelná a robustní vůči konfliktům mezi stupni volnosti a omezeními. Tím je však do systému zavedena síla, která je mnohem větší než všechny ostatní, a systém pak vykazuje silné stiff chování.

Při simulaci pseudofixační aproximace tření podléhají dotčené stupně volnosti drobným změnám a nejsou tedy skutečně blokované. Tento fakt může zhoršit dosaženou přesnost, jejíž význam záleží na účelu modelu. Pokud model simuluje dynamiku stroje odděleně od částí pro fixaci, které mají formu černé skříňky s nepodstatnou vnitřní dynamikou, je toto řešení efektivní a přijatelné. Čím je pseudofixační aproximace tření jako funkce skluzu hladší (více diferenciovatelná), tím je kompromis mezi simulační rychlostí a přesností příznivější.

Pseudofixační aproximace obecně selhává v následujících situacích:

• když je cílem simulovat blokování stupně volnosti jako takové (např. pro zkoumání omezujících sil svázaných s tímto stupněm volnosti);
• kdyby na blokovaný stupeň volnosti kontinuálně působila velká externí síla (jako gravitace), což by způsobilo jeho trvalý posuv.

Fixační aproximace tření

V případě fixační aproximace tření se ze systému odstraní blokovaný stupeň volnosti předepsáním dodatečné podmínky. Tento stav trvá tak dlouho, dokud je podmínka splněna, proto musí být opakovaně testována její platnost. Fixační podmínka je aplikována na relativní pohyb smýkajících se povrchů. Jestliže je skluz dostatečně malý (v definovaném rozsahu rychlostí blízkých nule), povrchy se k sobě „přilepí“. Samy pak dodávají jakékoli potřebné statické tření, které zabrání jejich odlepení. Fixace je obvykle zrušena až poté, kdy ve směru kontaktních povrchů těles zapůsobí externí síla dostatečně velká k překonání tření. Tato dvě klíčová čísla – práh minimální rychlosti a limit statického tření – charakterizují přechod od kinetického tření ke statickému a naopak. Tento přechod je typický pro suché povrchy.

Nevýhodou metody je specifikace fixačních podmínek a opakované testování pohybu a sil pro zjišťování jejich platnosti, které přerušuje simulaci a v případě potřeby odstraňuje nebo obnovuje stupně volnosti. Simulace aplikuje iterativní algebraické testy typu detekce průchodu nulou (zero-crossing detection, ZCD) a vytváří algebraické smyčky. ZCD často dělá simulaci tření výpočetně náročnou, jakož i obtížně laditelnou a kombinovatelnou s ostatními podmínkami.

Tento postup aplikující algebraické testy v jednom simulačním čase je možný i s řešičem s pevným krokem (FS), který má dáno přiřazení simulačního času k času reálnému. Nelze s ním však zjemnit detekci fixací a uvolnění nebo odhad skutečného času výskytu těchto událostí, protože průběh simulovaného času nemůže být po dobu adaptivního testování fixačních podmínek pozastaven. Namísto toho mohou být podmínky kontrolovány v po sobě jdoucích pevných simulovaných časech, ale tento přístup dále snižuje přesnost simulace. Testování realistického dynamického omezení vyžaduje řešič s proměnnou délkou kroku (VS), který může lépe aproximovat okamžitý přechod a je schopen vzít si tolik hodinového času, kolik je potřeba k dosažení dané přesnosti řešení.

Hledání ustáleného stavu a linearizace

Zásadní komplikace při návrhu řízení systémů se třením vzniká při pokusu o linearizaci simulačního modelu hledáním jeho ustálených stavů a stanovením odezvy na malé změny. Tato problematika zahrnuje prohledávání různých kombinací fixovaných a uvolněných stupňů volnosti za současného hledání mezi stupni volnosti nepodléhajícími tření pomocí plynulých změn.

V praxi musí být hledání ustáleného stavu provedeno ve dvou etapách. Nejprve se hledají diskrétní fixované a uvolněné stavy, a poté se přejde k hledání stavů spojitých. Každá etapa může vyžadovat více iterací. Metody, které mění stavy pouze spojitě v přítomnosti fixací, nefungují, tzn. že konfigurace blokovaných a uvolňovaných stupňů volnosti musí být neměnná. Při hledání ustálených stavů systému se třením má pseudofixační aproximace se stiff řešičem oproti skutečným fixačním metodám velkou výhodu.

Aplikace v reálném čase – řešiče s pevným krokem

Simulace v reálném čase obecně předpokládají řešiče s pevným krokem, neboť simulace musí být dokončena v daném čase. Když se do simulace přidá statické tření, je možné použít jedno z následujících vzájemně výlučných řešení:

• použít FS řešič s fixačním modelem tření a přijmout omezenou přesnost pro okamžité zablokování a uvolnění stupňů volnosti, které je uměle rozloženo přes několik časových simulačních kroků. Pokud je délka kroku simulace v reálném čase dostatečně malá, je toto řešení obvykle lepší;
• modelovat statické tření v blízkosti nulového skluzu pomocí viskózní síly s vysokým stupněm stiff chování. Pro výpočet lze zvolit stiff FS řešič nebo normální FS řešič s malým časovým krokem.

Modelování tření v Simulinku

Fixační aproximace tření je navzdory své větší výpočetní náročnosti a složitosti v některých situacích vhodnější. Blokování a uvolňování je reálnější, dovoluje korektně modelovat omezení a umožňuje reprezentovat širší škálu reálných situací, včetně přítomnosti gravitace a dalších externích sil.

Nadstavby Simulinku SimDriveline a SimMechanics obsahují několik bloků pro simulaci fixační aproximace tření. Jsou to Joint Stiction Actuator (JSA) v SimMechanics a Controllable Friction Clutch (CFC) nebo Fundamental Friction Clutch (FFC) v SimDriveline. SimMechanics také obsahuje knihovnu mech_friction s příklady zjednodušených modelů tření založených na bloku JSA. Bloky využívají k modelování fixace a uvolnění detekci průchodu nulou. Pokud se k fixačnímu tření nepřidá žádná trvalá síla se stiff chováním a pokud je délka kroku malá, je možné použít normální řešič. Specializované bloky pro tření jsou dostupné také v nadstavbách Simscape a Stateflow. Stateflow slouží k modelování událostmi řízených procesů a přináší alternativní přístup pro modelování přechodů mezi blokovanými a uvolněnými stavy.

Dále uvedené příklady systémů se třením a jejich modely v Simulinku ilustrují obě modelovací metody s jejich požadavky.

Píst ve válci – jeden stupeň volnosti, spojitá a fixační aproximace tření

Model pístu s vertikálně působícím kontaktním třením (obr. 1) byl vytvořen pomocí fixační i pseudofixační aproximace. Vertikální pohyb je modelován v SimMechanics se stiff VS řešičem středního řádu. Píst je vertikálně poháněn oscilující silou. Během pohybu dochází ke tření na styčné ploše mezi pístem a vnitřní stěnou válce. To způsobuje přechody mezi statickým a kinetickým třením, jejichž velikosti jsou úměrné k horizontální normálové síle mezi pístem a válcem. Gravitace zde není uvažována.

Simulace kinetického tření nezpůsobuje žádné obtíže kromě případu stiff chování a nespojitosti sil. Pro návrh a obecné účely poskytuje VS řešič adekvátní přesnost i efektivitu. FS řešiče jsou spíše vyhrazeny pro aplikace v reálném čase nebo případy, kdy VS řešiče selžou. Vždy je dobré prozkoumat průběh a relativní velikost sil v systému z důvodu stiff chování a nespojitosti a v případě potřeby zvolit k výpočtu stiff řešič.

Pseudofixační aproximace tření je modelována pomocí závislosti velikosti třecí síly na hodnotě skluzu (obr. 2). Tato síla je pak zavedena do dynamického modelu pístu.

Ve fixační variantě je na vertikální pohyb pístu aplikován podsystém Coulombova tření s JSA blokem nastaveným k vytvoření středně velké přilnavé síly (obr. 3). Simulace vyvolává algebraickou smyčku k řešení fixace a uvolňování stupňů volnosti. V grafech (obr. 4 a 5) je vidět průběh dynamických (silových) a kinematických (fixačních) nespojitostí při pohybu pístu spolu s účinkem kinetického tření během smyku. Dále je zobrazen průběh vertikální reakční síly mezi pístem a válcem. Během přilnutí je tato reakce silou statického omezení.

Automobilová spojka – jeden spojitý stupeň volnosti

Pro automobilovou spojku byly vytvořeny dva modely s rozdílnou aproximací tření. První představoval nereálné kinetické tření s nespojitou změnou znaménka při nulovém skluzu bez blokace stupně volnosti, simulovaný standardním FS řešičem. Tento typ řešiče pomíjí nespojitosti a efektivně počítá spojitou dynamiku. Druhý model modifikoval tření pomocí pseudofixační aproximace. Tření je jako funkce skluzu konstantní až na oblast blízkou nule, kde se hladce, avšak strmě mění znaménko. Taková stiff síla vyžaduje buď stiff VS řešič středního řádu nebo FS řešič s malým krokem. Silné stiff chování udržuje během statického tření skluz na nepatrné hodnotě.

Hledání rovnovážného stavu a linearizace jsou pro spojitý systém tohoto druhu poměrně jednoduché. Je však třeba dát pozor na rozlišení účinku stiff sil aproximujících statické tření od ostatních. Například při linearizaci tohoto modelu ve fázi statického tření (pseudofixace) může vytvořit nereálné, vysoce tlumené stupně volnosti, které by měly být odstraněny.

Automobilová převodovka – mnoho fixačních stupňů volnosti

Model automobilové převodovky v SimDriveline (obr. 6) sestává ze šesti spojek. Pět z nich je spojených do čtyřstupňové převodovky, poslední spojka je brzdová. Převodovka přenáší výkon ze vstupního na výstupní hřídel právě tehdy, když jsou dvě z jejích čtyř dopředných spojek sepnuty. Kdyby bylo sepnuto spojek více, nastal by konflikt stupňů volnosti, kdyby méně, převodovka by nic nepřenášela. Každá spojka je reprezentována Controllable Friction Clutch (CFC) blokem. Pohyb je simulován standardním VS řešičem vysokého řádu, který je za předpokladu rozumně nastavené tolerance chyby přesnou a efektivní metodou.

Simulace s mnoha fixačními stupni volnosti je důležitou technickou aplikací naprosto nezbytnou pro modelování v automobilovém průmyslu. Problematika vznikající při simulaci jednoho fixačního stupně volnosti je zde znásobena. Také je nutné vyhnout se konfliktům mezi současně blokovanými stupni volnosti a zároveň udržet korektně blokované stupně volnosti tak, aby přenášely pohyb, sílu a výkon dle požadavků návrhu.

Ing. Jaroslav Jirkovský

Humusoft

www.humusoft.cz

jirkovsky@humusoft.com

Chybějící tabulku naleznete v tištěné verzi časopisu.